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Page sur les inductances

Inductance
Selon le théorème d'Ampère tout courant parcourant un circuit crée un champ magnétique à travers la section qu'il entoure. L'inductance de ce circuit est le quotient du flux de ce champ magnétique par l'intensité du courant traversant le circuit. L'unité de l'inductance est le henry (H). En toute rigueur ce terme n'a d'intérêt que pour les situations dans lesquelles le flux est ou peut-être considéré comme proportionnel au courant.
Par synecdoque, on appelle inductance tout composant électronique destiné par sa construction à avoir une certaine valeur d'inductance, comme on appelle résistance des composants utilisés pour cette propriété. Ces dipôles sont généralement des bobines, souvent appelées self.

Bobine simple
Inductance propre

Symbole de l'inductance
La définition la plus courante d'inductance propre est la suivante : La surface circonscrite par un circuit électrique parcouru par un courant I est traversée par le flux du champ magnétique appelé autrefois flux d'induction Φ. L'inductance L du circuit électrique est alors définie comme le rapport entre le flux embrassé par le circuit et le courant : L = Φ / I
Précisons que le flux Φ est celui produit par le courant I et non celui provenant d'une autre source.

Visualisation d'une surface circonscrite par une bobine à trois spires.
Infos
cette définition présente trois inconvénients.
La définition de l'inductance est donnée en fonction du flux Φ qui est une grandeur physique inaccessible directement. Il n'existe pas de moyen de mesurer le flux magnétique sans le faire varier en fonction du temps.
La surface circonscrite par le circuit n'est pas toujours facile à déterminer et dans certains cas, elle n'existe même pas, par exemple si le circuit fait un noeud.
La définition suppose que le flux est proportionnel à l'intensité du courant. Ce n'est pas le cas quand le flux traverse un matériau magnétique, dans ce cas, on observe un cycle d'hystérésis magnétique.
Infos
une deuxième définition, qui ne présente que le troisième inconvénient, découle de la loi de Faraday qui est la seule réellement applicable dans toutes les situations.
e (t) = - dΦ(t) / dt
si L est constant on en déduit
e (t) = - L * di(t) / dt
où L est l'inductance propre du circuit ou composant
e est la force électromotrice aux bornes du circuit en convention générateur
di(t) / dt est la variation du courant qui traverse le circuit avec le temps mesurée en ampères / seconde.
e et i sont des valeurs instantanées.
nous remarquons que
la relation n'est applicable qu'aux situations dans lesquelles le flux est ou peut-être considéré comme proportionnel au courant.
lorsque le courant est constant, di / dt est nul et par conséquent la force électromotrice e auto-induite est nulle aussi.
Le signe (-) indique que la force électromotrice auto-induite aux bornes de l'inductance s'oppose aux variations du courant qui la traverse.
quand on applique une tension constante à une inductance, le courant qui rentre par l'extrémité positive augmente avec le temps.
A partir de cette définition, on pourrait mesurer la valeur de l'inductance d'un circuit, puis déterminer le flux magnétique équivalent qui traverse la surface circonscrite équivalente si la tension aux bornes de cette portion de circuit ne dépendait que de phénomènes magnétiques. Malheureusement, un grand nombre d'effets physiques très divers influent sur cette tension. On ne peut donc pas mesurer l'inductance d'une portion de circuit.
Comme déjà indiqué, cette définition n'est pas valable pour des portions de circuit présentant des non-linéarités. On peut définir une inductance qui dépend de la valeur du courant et de son histoire : L = ∂Φ / ∂I
Une partie du flux produit par le courant traverse le câble lui-même. Il convient donc de distinguer l'inductance externe et l'inductance interne d'un circuit. L'inductance interne d'un câble diminue lorsque la fréquence du courant augmente à cause de l'effet pelliculaire ou effet de peau. En pratique, l'effet de peau est presque complet à partir d'une ou deux dizaines de kilohertz et l'inductance ne varie plus.
Inductance mutuelle
Un circuit traversé par un courant noté i1, produit un champ magnétique à travers un circuit, on peut écrire : M½ = Φ2 / i1
La valeur de cette inductance mutuelle dépend des deux circuits en présence, caractéristiques géométriques, nombre de spires et de leur position relative : éloignement et orientation.
Le dipôle Inductance, ou bobine

symbolisation d'une bobine parfaite d'inductance L
de la tension à ses bornes u
de l'intensité du courant qui la traverse i en convention récepteur.
Son symbole dans les schémas est L. Une bobine d'inductance L est un dipôle tel que la tension à ces bornes soit proportionnelle à la dérivée de l'intensité du courant qui le traverse en convention récepteur : u = L * di / dt
Cette relation vient de l'expression du flux magnétique en magnétostatique : u = dΦ / dt et de Φ = L * i, conséquence de la définition de L.
Cette équation montre que l'intensité du courant traversant une inductance ne peut pas subir de discontinuité, cela correspondrait en effet à une tension infinie à ses bornes, donc à une puissance infinie.
Puissance instantanée
Remarque : on ne peut stocker que de l'énergie. Le terme puissance emmagasinée est donc un abus de langage qui correspond en réalité à la puissance que l'on fournit à l'inductance et qui vient augmenter l'énergie emmagasinée dans cette dernière.
En convention récepteur la puissance instantanée fournie à l'inductance est égale à : P = u * i = L * di / dt * i
En utilisant la transformation mathématique suivante : d(i²) / dt = i * d(i) / dt + d(i) / dt * i = 2 * d(i) / dt * i, on obtient la relation : P = ½ * L(i²tf - i²ti)
La puissance instantanée fournie à une inductance est liée à la variation du carré de l'intensité qui la traverse : si celui-ci augmente, l'inductance emmagasine de l'énergie. Elle en restitue dans le cas contraire.
L'énergie échangée entre 2 instants ti et tf vaut : W = ½ * L(i²tf - i²ti)
Il en résulte qu'il est difficile de faire varier rapidement le courant qui circule dans une bobine et ceci d'autant plus que la valeur de son inductance sera grande. Cette propriété est souvent utilisée pour supprimer de petites variations de courant non désirées.
L'effet de l'inductance face aux variations du courant est analogue en mécanique à l'effet de la masse face aux variations de la vitesse : quand on veut augmenter la vitesse il faut fournir de l'énergie cinétique et ceci d'autant plus que la masse est grande. Quand on veut freiner, il faut récupérer cette énergie. Débrancher une bobine parcourue par un courant, c'est un peu arrêter une voiture en l'envoyant contre un mur.
Puissance en régime sinusoïdal
En régime sinusoïdal, une inductance idéale (dont la résistance est nulle) ne consomme pas de puissance active. En revanche, il y a stockage ou restitution d'énergie par la bobine lors des variations de l'intensité du courant.
Champ magnétique induit
On se place dans le cas d'un circuit électrique formé d'une seule maille (au sens des lois de Kirchhoff). Ce circuit est donc parcouru par un courant électrique I constant tout au long du circuit, mais que l'expérience peut évidemment faire varier, à condition que ce soit lentement, et on ne se préoccupe pas directement des petits effets transitoires dus à ces variations.
Comme le montre l'expérience d'oersted, dont les résultats sont formalisés par la loi d'oersted11, la présence d'un courant électrique crée alors un champ magnétique dans l'espace, dont la configuration exacte peut être complexe, fonction du tracé du circuit lui-même potentiellement complexe. D'après la loi d'oersted, la contribution dB au champ magnétique du point P d'un élément infinitésimal dl, situé au point Q et parcouru par le courant I, est :
On sait donc que le champ magnétique est là présent partout dans l'espace, mais dans le cas général, il n'y a généralement aucun moyen pratique permettant d'en calculer sa valeur en un point déterminé. Mais indépendamment de sa complexité dans l'espace, ce champ induit est (en première approximation — dans le vide) proportionnel en tout point au courant électrique qui l'a créé, et c'est ce point qui est fondamental pour la suite.
Energie de création du champ magnétique
La création d'un champ magnétique demande nécessairement le transfert d'une certaine énergie électromagnétique par unité de volume. Dans le cas d'un circuit créant un champ magnétique, l'énergie globale ainsi transférée (sommation sur tout l'espace de l'énergie électromagnétique créée en chaque point) résulte nécessairement d'un travail du courant électrique, lequel rencontre donc nécessairement une opposition. Compte tenu du circuit, cette opposition ne peut se manifester que sous la forme d'une force contre-électromotrice E induite, c'est-à-dire, quelque chose qui aurait le même effet qu'une tension électrique, mais qui d'une manière ou d'une autre serait immanent à l'ensemble du circuit, apparaissant dans le circuit en proportion de la variation de courant, et traduisant implicitement la mise en place du champ magnétique par ce courant électrique.
Le travail dW effectué par le courant à un instant t pendant un intervalle de temps dt correspond à la puissance électrique associée à cette force contre-électromotrice E. Cependant, toutes choses égales par ailleurs, le travail n'existe que dans la mesure où le champ magnétique varie, et il est d'autant plus grand pendant un intervalle de temps dt qu'est rapide la variation de courant qui la génère. Globalement, le travail doit donc être proportionnel à la fois au courant I et à sa variation dI/dt, que multiplie un coefficient L caractérisant la géométrie du circuit et la manière dont il crée un champ magnétique, coefficient d'autant plus grand que le champ magnétique créé est important pour une intensité donnée :
Coefficient d'auto-induction
Par définition, ce coefficient de couplage L est ce que l'on appelle le coefficient d'auto induction du circuit électrique considéré.
En réalité, ce coefficient d'auto-induction est généralement faible dans un circuit usuel, il ne prend des valeurs importantes (et induit des forces contre-électromotrices importantes) que lorsque la forme du circuit est spécialement disposée pour qu'un courant électrique relativement faible puisse créer un champ magnétique comparativement important. Dans ce but, on profite de la capacité d'une boucle de courant à créer un moment magnétique unitaire (proportionnel à l'intensité électrique et à la surface de la boucle) pour multiplier le nombre de boucles imposées au circuit électrique en un composant localisé, qui prend la forme d'une bobine ou d'un solénoïde.
Sous une telle forme, le coefficient d'auto-induction du circuit est essentiellement due au composant en question. Par définition, cette valeur est l'inductance de cet élément, en négligeant la très faible contribution du reste du circuit. L'inductance d'un composant est celle du circuit lorsque ce composant est seul, mais si une autre bobine est montée sur le même circuit ou sur un circuit séparé, les interférences entre les deux seront souvent complexes et l'inductance de l'ensemble difficile à déterminer avec précision dans tous les cas. Dans le cas simple où les bobines appartiennent au même circuit et sont à proximité l'une de l'autre et enfilées sur une même tige ferromagnétique, l'inductance globale sera (sensiblement) la somme des inductances des composants.
Force contre-électromotrice et flux du champ magnétique
Analytiquement, l'expression de la force contre-électromotrice sur l'ensemble du circuit est donc donnée par l'intégrale de chemin
Le théorème du rotationnel nous dit par ailleurs que la circulation de cette primitive d'un champ vectoriel sur une boucle fermée est égale au flux de ce même champ vectoriel sur une surface s'appuyant sur cette boucle
La forme de la boucle fermée que constitue le circuit étant sensiblement constante dans le temps, l'intégrale de la variation temporelle du potentiel vecteur sur cette boucle est égale à la variation temporelle de l'intégrale. Par conséquent, la force contre-électromotrice est égale à la variation du flux magnétique traversant le circuit :
Grandeur électromagnétique et unité
Le coefficient d'auto-induction (ou plus rarement, d'induction mutuelle) s'exprime suivant une grandeur physique dénommée l'inductance. Son unité dans le système international d'unités est le henry. Comme présenté ci-dessus, l'inductance se caractérise par :
C'est une grandeur scalaire. C'est une grandeur extensive, dans le sens où elle caractérise un système physique dans son ensemble, et non pas localement. Par rapport à son caractère extensif, son caractère additif dépend fortement des conditions expérimentales, et n'a de sens que si les deux inductances considérées sont placées dans la même configuration géométrique. En cas de superposition de deux inductances, dans le cas général, la valeur de l'inductance globale dépend très fortement de la géométrie du système. L'inductance de deux nappes de boucles de courant superposées en un même bobinage et alignées sur un même noyau ferromagnétique est effectivement la somme des inductances de ces nappes (on est alors dans un cas de toutes choses égales par ailleurs, mais dès que les bobinages s'éloignent les uns des autres, on entre dans le domaine du coefficient d'induction mutuelle, et l'additivité (ou pas) devient très dépendante des conditions géométriques.
Inductance propre
La définition la plus courante d'inductance propre est la surface circonscrite par un circuit électrique parcouru par un courant I est traversée par le flux du champ magnétique appelé autrefois flux d'induction Φ.
L'inductance L du circuit électrique est alors définie comme le rapport entre le flux embrassé par le circuit et le courant : L = Φ / I
Précisons que le flux Φ est celui produit par le courant I parcourant le circuit et non celui provenant d'une autre source autre courant, aimant, etc...
Cette définition présente trois inconvénients :
la définition de l'inductance est donnée en fonction du flux Φ qui est une grandeur physique inaccessible directement
la surface circonscrite par le circuit n'est pas toujours facile à déterminer
la définition suppose que le flux est proportionnel à l'intensité du courant. Ce n'est pas le cas quand le flux traverse un matériau magnétique dans ce cas, on observe un cycle d'hystéresis magnétique
Une deuxième définition qui ne présente que le troisième inconvénient, découle de la loi de Lenz-Faraday qui est la seule réellement applicable dans toutes les situations :
e ( t ) = - dΦ / dt
si L est constant on en déduit
e ( t ) = - L di / dt
où
L est l'inductance propre du circuit ou composant
e la force électromotrice aux bornes du circuit en convention générateur
di /dt la variation avec le temps du courant qui traverse le circuit mesurée en ampères par seconde
e et i sont des valeurs instantanées.
Cependant
la relation n'est applicable qu'aux situations dans lesquelles le flux est — ou peut-être considéré comme — proportionnel au courant
lorsque le courant est constant, di / dt est nul et par conséquent la force électromotrice e auto-induite est nulle aussi
le signe (-) indique que la force électromotrice auto-induite aux bornes de l'inductance s'oppose aux variations du courant qui la traverse
quand on applique une tension constante U à une inductance imparfaite de résistance R, le courant qui rentre par l'extrémité positive augmente avec le temps jusqu'à la valeur limite U / R.
A partir de cette définition, on pourrait mesurer la valeur de l'inductance d'un circuit, puis déterminer le flux magnétique équivalent qui traverse la surface circonscrite équivalente si la tension aux bornes de cette portion de circuit ne dépendait que de phénomènes magnétiques. Malheureusement, un grand nombre d'effets physiques très divers dont l'effet Joule influent sur cette tension. On ne peut donc pas mesurer l'inductance d'une portion de circuit.
Comme déjà indiqué, cette définition n'est pas valable pour des portions de circuit présentant des non-linéarités. On peut définir une inductance qui dépend de la valeur du courant et de son histoire par la relation : L = ∂Φ / ∂I
Une partie du flux produit par le courant traverse le câble lui-même. Il convient donc de distinguer l'inductance externe et l'inductance interne d'un circuit. L'inductance interne d'un câble diminue lorsque la fréquence du courant augmente à cause de l'effet pelliculaire ou effet de peau.
Inductance mutuelle
Un circuit 1 traversé par un courant noté i1, produit un champ magnétique à travers un circuit 2, on peut écrire :M1/2 = Φ2 / i1
La valeur de cette inductance mutuelle dépend des deux circuits en présence caractéristiques géométriques, nombre de spires et de leur position relative : éloignement et orientation.
Le dipôle Inductance, ou bobine
Symbolisation d'une bobine parfaite d'inductance L, de la tension à ses bornes u et de l'intensité du courant qui la traverse i en convention récepteur.
Son symbole dans les schémas est L. Une bobine d'inductance L est un dipôle tel que la tension à ses bornes soit proportionnelle à la dérivée de l'intensité du courant qui le traverse en convention récepteur : µ = L . ( di / dt)
Cette relation vient de l'expression du flux magnétique en magnétostatique : µ = dΦ / dt et de Φ = L . i, conséquence de la définition de L.
Cette équation montre que l'intensité du courant traversant une inductance ne peut pas subir de discontinuité, cela correspondrait en effet à une tension infinie à ses bornes, donc à une puissance infinie.
Puissance instantanée
Remarque : on ne peut stocker que de l'énergie. Le terme puissance emmagasinée est donc un abus de langage qui correspond en réalité à la puissance que l'on fournit à l'inductance et qui vient augmenter l'énergie emmagasinée dans cette dernière.
En convention récepteur la puissance instantanée fournie à l'inductance est égale à :
P = ù . i = L . ( di / dt )
En utilisant la transformation mathématique suivante :
d . ( i² ) / dt = 2 . (d .( i ) / dt ) . i
on obtient la relation :
P = 1 / 2 . L . ( d ( i² )) / dt
La puissance instantanée fournie à une inductance est liée à la variation du carré de l'intensité qui la traverse : si celui-ci augmente, l'inductance emmagasine de l'énergie. Elle en restitue dans le cas contraire.
L'énergie échangée entre 2 instants ti et tf vaut :
W = 1 / 2 . L . ( i²tf - i²ti)
L'énergie emmagasinée dans une bobine traversée par un courant I à l'instant t vaut :
W = 1 / 2 . L . I²
Il en résulte qu'il est difficile de faire varier rapidement le courant qui circule dans une bobine et ceci d'autant plus que la valeur de son inductance sera grande. Cette propriété est souvent utilisée pour supprimer de petites variations de courant non désirées.
Une bobine traversée par un courant I peut être vue comme un générateur de courant. Toute tentative d'ouverture du circuit où se trouve cette bobine va se traduire par une augmentation de la tension aux bornes de la bobine afin que le courant reste constant. Par exemple, si un interrupteur tente d'ouvrir un circuit inductif où circule un courant, il va se produire immanquablement une étincelle entre les bornes de l'interrupteur. Cette étincelle est physiquement la seule issue pour que l'énergie contenue dans l'inductance s'évacue. Des surtensions de plusieurs milliers voire millions de volts sont possibles, c'est ce phénomène qui est utilisé dans les armes de poing électriques de défense.
L'effet de l'inductance face aux variations du courant est analogue en mécanique à l'effet de la masse face aux variations de la vitesse : quand on veut augmenter la vitesse il faut fournir de l'énergie cinétique et ceci d'autant plus que la masse est grande. Quand on veut freiner, il faut récupérer cette énergie. Débrancher une bobine parcourue par un courant, c'est un peu arrêter une voiture en l'envoyant contre un mur.
Puissance en régime sinusoïdal
En régime sinusoïdal, une inductance idéale (dont la résistance est nulle) ne consomme pas de puissance active. En revanche, il y a stockage ou restitution d'énergie par la bobine lors des variations de l'intensité du courant.
Impédance
A chaque instant
Inductance de circuits électriques simples dans l'air
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