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Page sur les impédances électrique

L'impédance électrique mesure l'opposition d'un circuit électrique au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. La définition d'impédance est une généralisation de la loi d'Ohm dans l'étude des circuits en courant alternatif.
Le mot impédance fut inventé par Oliver Heaviside en juillet 1886.
Selon le vocabulaire et les notations normalisés par la Commission électrotechnique internationale (CEI), l'impédance d'un dipôle linéaire passif de bornes A et B est définie en régime sinusoïdal de courant et de tension par le quotient du nombre complexe image du phaseur U_AB, représentant la tension entre les bornes, par le nombre complexe image du phaseur I_ représentant le courant électrique à travers le dipôle.
Z = U_AB / I_
Le formalisme des impédances établit quelques règles de calculs des potentiels et des intensités du courant en tout point d'un circuit alimenté par diverses sources et comportant des éléments inductifs et capacitifs idéalisés. Les méthodes de calcul sont alors similaires à celles utilisées pour les circuits en courant continu.
Définitions et notations
Représentation des signaux par des nombres complexes
Impédance, résistance, réactance

Représentation graphique, dans le plan complexe, de l'impédance Z
la résistance R
et la réactance X
L'impédance est un nombre complexe, en général noté Z.
Soit un composant électrique ou un circuit alimenté par un courant sinusoïdal I0 cos(ωt + φi). Si la tension à ses bornes est V0 cos(ωt + φv), l'impédance du circuit ou du composant est définie comme le nombre complexe dont le module est égal au rapport V0 / I0 et dont l'argument est égal à φ = φv - φi.
Le module de l'impédance est homogène à une résistance et se mesure en ohms.
Souvent, on utilise par abus de langage le terme impédance pour désigner son module.
détail
Une impédance peut être représentée comme la somme d'une partie réelle plus une partie imaginaire :
Z_ = R + jX
R : est la partie réelle dite résistive
X : est la partie imaginaire dite réactive ou réactance.
Une impédance dont la partie imaginaire est positive sera qualifiée d'inductive. Si la partie imaginaire est négative, on parle d'impédance capacitive.
Règles de calcul de circuits avec les impédances
Avec ce qui vient d'être dit, on peut calculer des circuits comprenant des impédances de manière similaire à celle utilisée pour le calcul avec des résistances en courant continu. Le résultat du calcul d'une tension ou d'un courant est, en général, un nombre complexe.
détail
Ce nombre complexe s'interprète de la façon suivante :
Le module indique la valeur de la tension ou du courant calculé. Si les valeurs utilisées pour les sources étaient des valeurs crête, le résultat sera aussi une valeur crête. Si les valeurs utilisées étaient des valeurs efficaces, le résultat sera aussi une valeur efficace.
L'argument de ce nombre complexe donne le déphasage par rapport à la source utilisée comme référence de phase. Si l'argument est positif, la tension ou le courant calculés seront en avance de phase.
Calculs d'impédances équivalentes.
Le calcul de l'impédance équivalente d'un ensemble d'impédances se traite comme les résistances avec la loi d'Ohm.
Impédances en série

Ensemble de n impédances en série.
L'impédance équivalente à un ensemble d'impédances en série est égale à la somme des impédances des éléments. Attention cela ne fonctionne qu'avec les impédances sous leur forme complexe, après une transformé cissoidal : Z = Z1 + Z2 + ... + Zn
Impédances en parallèle

Ensemble de n impédances en parallèle.
Lorsque les dipôles sont placés en parallèle, ce sont les admittances qui s'additionnent. L'admittance équivalente à un ensemble d'admittances en parallèle est égale à la somme des admittances des éléments : Y = Y1 + Y2 + ... + Yn
L'admittance étant l'inverse de l'impédance il en résulte que :
1 / Z = 1 / Z1 + 1 / Z2 + ... + 1 / Zn
Donc l'impédance équivalentes à un ensemble d'impédances en parallèle est égale à l'inverse de la somme de leurs inverses :
Z = 1 /(1 / Z1 + 1 / Z2 + ... + 1 / Zn)
Loi d'Ohm généralisée
La tension aux bornes d'une impédance est égale au produit de l'impédance par le courant : Vz = ZIz
Aussi bien l'impédance que le courant et la tension sont, en général, complexes.
Lois de Kirchhoff
Les lois de Kirchhoff s'appliquent de la même manière qu'en régime de tension et de courant continu : la somme des courants arrivant sur un noeud est nulle et la somme des tensions autour d'une maille est nulle, mais les courants et les tensions sont représentés par des nombres complexes.
Validité des règles de calcul
détail
Ces règles ne sont valables que :
En régime sinusoïdal établi, c'est-à-dire avec des sources de tension et de courant sinusoïdales et une fois les phénomènes transitoires de départ disparus.
Avec des composants supposés linéaires, c'est-à-dire des composants dont l'équation caractéristique (relation entre la tension à leurs bornes et l'intensité du courant qui les traverse) est assimilée à une équation différentielle à coefficients constants. Des composants non linéaires comme les diodes sont exclus. Les bobines à noyau ferromagnétique donneront seulement des résultats approchés et ce, à condition de ne pas dépasser les valeurs d'intensité au-dessus de laquelle leur fonctionnement ne peut plus être considéré comme linéaire suite à la saturation qui intervient dans ces matériaux.
Si toutes les sources n'ont pas la même fréquence ou si les signaux ne sont pas sinusoïdaux, on peut décomposer le calcul en plusieurs étapes à chacune desquelles on pourra utiliser le formalisme d'impédances.
Impédance des dipôles élémentaires
Afin de modéliser la réalité on utilise trois types de composants idéaux élémentaires.
Résistance idéale
L'impédance d'une résistance idéale R est égale à R :
ZR = R
C'est le seul composant à avoir une impédance purement réelle.
Bobine idéale
L'impédance d'une bobine d'inductance L est :
ZL = jωL
ω est la pulsation du signal. Contrairement au cas précédent, cette impédance est purement imaginaire et dépend de la fréquence du signal.
Condensateur idéal
L'impédance d'un condensateur idéal de capacité C est :
ZC = 1 / jωC
Composants réels
Les composants réels sont approchés par des modèles construits sous la forme d'impédances d'expressions complexes qui dépendent généralement de la fréquence et de l'amplitude du courant qui les traverse. Pour tenir compte des effets de la fréquence il faut généralement ajouter au modèle des dipôles élémentaires en série ou en parallèle. Par exemple, une résistance réelle présente, en général, une inductance en série avec sa résistance. Une résistance bobinée ressemble à une inductance et elle présente une valeur d'inductance significative. En haute fréquence, il est nécessaire d'adjoindre à ce modèle un condensateur en parallèle pour tenir compte des effets capacitifs existants entre deux spires contigües.
De même, un condensateur et une bobine réels peuvent être modélisés en ajoutant une résistance en série ou en parallèle avec la capacité ou l'inductance pour tenir compte des défauts et pertes. Il faut même parfois ajouter des inductances au modèle d'un condensateur réel et des capacités au modèle d'une bobine. Ces modélisations des écarts par rapport au modèle simple utilisé en basse fréquence peuvent devenir prédominant au-delà d'une certaine valeur de la fréquence.
Dans certains cas, il arrive qu'on ajoute une résistance dont la valeur dépend de la fréquence afin de tenir compte de l'évolution des pertes avec cette dernière.
D'une manière générale, il faut se souvenir qu'un modèle a toujours un domaine de validité.
Impédance interne d'un générateur
Pour rendre compte des chutes de tension et des échauffements internes constatés lors de l'utilisation d'un générateur électrique de tension ou de courant sinusoïdal, le plus souvent un alternateur ou un transformateur, on modélise ce générateur réel par l'association d'un générateur idéal et d'une impédance appelée impédance interne du générateur.
Modèle de Thévenin
Le modèle de Thévenin est le plus fréquent en électrotechnique (modèle de Kapp du transformateur ou modèle de Behn Eschenburg de l'alternateur) car il permet à la fois de rendre compte des pertes par effet Joule et de la chute de tension en charge. On associe en série un générateur de tension idéal avec une impédance inductive.
Modèle de Norton
Le modèle de Norton associe en parallèle un générateur de courant idéal avec une impédance ou une admittance. Ce modèle n'a pas les mêmes pertes par effet joule que le montage qu'il modélise, c'est pourquoi il est principalement utilisé comme intermédiaire de calcul pour analyser la mise en parallèle de générateurs réels.
Modèles plus complexes
Certains générateurs doivent être modélisés par des associations plus complexes de sources de puissance et d'impédances. Par exemple, le modèle le plus simple de la machine asynchrone utilisée en génératrice est constitué de l'association d'une résistance négative - elle fournit donc de la puissance - dont la valeur est liée au glissement, en série avec une inductance. Cet ensemble est en parallèle avec une impédance inductive assimilée à une inductance pure. Ce modèle doit être alourdi si l'on souhaite prendre en compte les pertes magnétiques et les pertes par effet Joule au stator.
Impédance et quadripoles
Quadripôle.
Impédances d'entrée et de sortie.
Un quadripôle chargé en sortie par une impédance de charge donnée se comporte, vu depuis ses bornes d'entrée, comme un dipôle passif dont on peut définir et mesurer l'impédance. Celle-ci est appelée impédance d'entrée du quadripôle.
Ligne de transmission
L'impédance caractéristique d'une ligne de transmission idéale est définie par : Zc = √L / C
L et C sont respectivement le coefficient d'auto induction ou inductance et la capacité par unité de longueur de la ligne.
détail
Elle est indiquée dans les catalogues des constructeurs. Elle dépend :
des dimensions des conducteurs et de leur espacement
de la constante diélectrique de l'isolant, dans la ligne coaxiale
détail
Valeurs typiques de l'impédance caractéristique :
50 ou 75 ohms pour une ligne coaxiale
300 ohms pour une ligne bifilaire
L'utilisation d'une ligne de transmission est principalement la transmission d'énergie électrique qui par une modulation appropriée supporte une information. La bonne transmission de cette information suppose le bon transfert de l'énergie ce qui suppose une bonne adaptation des impédances à l'entrée et la sortie du câble. Cette bonne adaptation se produit quand l'impédance des terminaisons est égale à l'impédance caractéristique du câble. Dans le cas contraire le transfert d'énergie n'est pas total et l'énergie non transférée fait demi tour ce qui présente des inconvénients par rapport au but recherché. C'est pour cela que quelques valeurs d'impédances caractéristiques ont été choisies pour faciliter le travail des concepteurs dans l'utilisation des câbles coaxiaux et de leur terminaison.

Représentation schématique des composants élémentaires d'une ligne de transmission.
Pour une ligne de transmission réelle, l'impédance caractéristique est un nombre complexe :
Zc = √R + jωL / G + jωC
où R et G sont respectivement la résistance et la conductance de pertes par unité de longueur.
On remarque qu'à haute fréquence (ω assez grand) R et G sont négligeables devant jωL et jωC d'où la bonne approximation sur une ligne réelle à haute fréquence de Zc = √L / C
Détermination pratique de l'impédance caractéristique: elle dépend des paramètres physiques de la ligne. Par exemple, pour un câble coaxial, Zc dépend du rapport des diamètres du conducteur intérieur et du conducteur extérieur, ainsi que de la constante diélectrique de l'isolant. Les valeurs normalisées ont été adoptées parce qu'elles minimisent les pertes par effet Joule. Pour une ligne imprimée micro-ruban, l'impédance caractéristique dépend du rapport entre la largeur du ruban (W), de l'épaisseur (h) de l'isolant entre le ruban et le plan de masse, et de la constante diélectrique de l'isolant.
Adaptation d'impédances
détail
L'adaptation d'impédances est une technique en électricité permettant d'optimiser le transfert d'une puissance électrique entre un émetteur (source) et un récepteur électrique (charge) :
Dans le cas de quadripôles en cascade, l'impédance du récepteur doit être très grande par rapport à celle de l'émetteur. Le rendement est ainsi optimisé lorsqu'on a une désadaptation maximale.
La théorie de la puissance maximum détermine que l'impédance de la charge doit être le complexe conjugué de l'impédance du générateur.
En présence d'une ligne de transmission, l'impédance du récepteur doit être égale à l'impédance caractéristique de celle-ci pour éviter les réflexions.
Méthodes de mesure d'une impédance
Montages en pont
Il existe de très nombreux montages en pont, analogues au pont de Wheatstone utilisé pour la mesure des résistances, qui permettent de mesurer des impédances : pont de Sauty, pont de Maxwell
Appareils de mesure électroniques
Il existe une grande variété d'appareils commerciaux plus ou moins sophistiqués permettant de mesurer l'impédance d'un composant ou d'un dipôle. On les trouve sous les noms d'analyseur d'impédance, pont RLC, pont de mesure électronique.
Ils sont constitués d'un générateur de courant sinusoïdal créé à l'aide de la tension de sortie d'un oscillateur ajustable. Ce courant traverse le dipôle à mesurer et la décomposition de la tension à ses bornes en une composante en phase et l'autre en quadrature avec la tension délivrée par l'oscillateur permet de déterminer les parties réelle et imaginaire de l'impédance. La pulsation étant connu il est possible à partir de la réactance d'afficher L ou C.
Les appareils les plus simples fonctionnent avec un oscillateur délivrant une tension d'amplitude et de fréquence fixe. Une composante continue est parfois ajoutée pour la mesure des condensateurs électrochimiques. Bien que les notices techniques indiquent des précisions de l'ordre du pourcent, il faut garder à l'esprit que la modélisation d'un dipôle par un modèle série (résistance Rs et réactance Xs) ou parallèle (résistance Rp et réactance Xp) dépend beaucoup de l'amplitude et de la fréquence de la tension à ses bornes. Certains ponts d'impédance automatiques permettent de régler ces paramètres.
Comme pour les ohmmètres, il est parfois nécessaire de prendre des précautions de câblage : montage 4 fils ou utilisation d'une garde.
Techniques expérimentales basées sur la mesure de l'impédance
Spectroscopie d'impédance - généralités
La spectroscopie d'impédance est un terme général qui recouvre l'ensemble des techniques consistant à mesurer et analyser l'impédance électrique d'un échantillon, en général en fonction de la fréquence, de manière à en tirer des informations sur ses propriétés physicochimiques. On parle également de spectroscopie diélectrique, quand elle est appliquée à des matériaux diélectriques.
Spectroscopie d'impédance électrochimique
Principe de calcul d'une impédance faradique
Régime stationnaire
Pour une réaction redox R ↔ O + e qui se déroule à une interface électrode | électrolyte en absence de gradient de concentration des espèces électroactives R et O, la relation densité de courant de transfert vs. surtension d'électrode est donnée par la relation de Butler-Volmer : jt = j0 (exp(αoƒη) - exp(- αrƒη))
j0est la densité de courant d'échange, αo et αr sont les facteurs de symétrie dans le sens de l'oxydation et de la réduction avec αo + αr = 1,η la surtension d'électrode avec η = E - Eeq et ƒ = F / (RT)

Graphe densité de courant de transfert de charge vs. surtension d'électrode
Le graphe de jt vs. E n'est pas une droite
le comportement de la réaction redox n'est pas celui d'un système linéaire.
Régime dynamique
Impédance faradique
Supposons que la loi de Butler-Volmer décrive correctement le comportement dynamique de la réaction redox de transfert d'électron
jt (t) = jt(η(t)) = jo (exp(αoƒη(t)) - exp(- αrƒη(t)))
Le comportement dynamique de la réaction redox se caractérise alors par sa résistance différentielle définie par
Rt = 1 / (∂jt / ∂η) = 1 / (ƒ j0 (αo exp (αoƒη) + αr exp (- αrƒη)))
Résistance différentielle dont la valeur dépend de la surtension d'électrode
Dans ce cas simple l'impédance faradique Zf se réduit à la résistance de transfert Rt et l'on note en particulier que
Rt = 1 / ƒ j0
lorsque la surtension η est nulle.
Condensateur de double couche
Une interface électrode | électrolyte se comporte en régime dynamique comme un condensateur appelé condensateur de double couche interfaciale et noté Cdc. Cette double couche électrique ou électrochimique est décrite par le modèle de Gouy-Chapman-Stern. Le comportement en régime dynamique d'une réaction redox en absence de gradient de concentration des espèces électroactives est donc analogue à celui du circuit électrique ci dessous.

Circuit électrique équivalent d'une réaction redox en absence de gradient de concentration.
L'impédance électrique de ce circuit se calcule facilement.
Zdc(ω) = 1 / iωCdc
où ω est la pulsation, en rd / s et i = √ -1.
On trouve
Z(ω) = Rt / (1 + RtCdciω)
Le graphe de Nyquist des électrochimistes qui portent la partie imaginaire changée de signe de l'impédance en fonction de sa partie réelle est, dans un repère orthonormé, un demi-cercle de diamètre Rt et de pulsation au sommet égale à 1 / (RtCdc).

Graphe de Nyquist des électrochimistes d'un circuit RC parallèle.
La flèche indique le sens des fréquences croissantes.
Résistance d'électrolyte
Lorsque la résistance de la portion d'électrolyte comprise entre l'électrode de travail et l'électrode de référence n'est pas négligeable le circuit équivalent de la réaction redox comprend de plus la résistance Rω branchée en série. Le graphe d'impédance est alors translaté de la valeur Rω
Mesure des paramètres de l'impédance
Le tracé du graphe de l'impédance d'une réaction redox à l'aide d'un potentiostat et d'un analyseur d'impédance, inclus dans la plupart des potentiostats modernes, permet donc la mesure de la résistance de transfert de la réaction, de la capacité du condensateur de double couche interfaciale et de la résistance d'électrolyte. Lorsque ce tracé est effectué pour une surtension nulle il est possible de déterminer la densité de courant d'échange j0.
Pour des réactions électrochimiques plus complexes que la réaction redox et en présence de gradients de concentration des espèces électroactives, les graphes des impédances électrochimiques sont constitués de plusieurs arcs.
Applications médicales
Les balances impédancemètres permettent de séparer la masse graisseuse et la masse maigre lors d'une pesée. Aujourd'hui disponible commercialement, ces appareils exploitent les différences de conductivité entre ces différents tissus pour remonter à cette information.
La pneumographie d'impédance est une technique permettant de suivre les mouvements respiratoires (variations de volume des poumons) par les variations d'impédances entre des électrodes placées de manière appropriée. La tomographie d'impédance électrique est une technique d'imagerie du corps humain par laquelle on reconstitue une image en trois dimensions à partir de multiples mesures d'impédances entre des électrodes placées sur la peau.
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